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一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 $a$，则这个球的体积是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt 2}{12}\pi a^3$
B: $\dfrac{\sqrt 2}{18}\pi a^3$
C: $\dfrac{\sqrt 2}{24}\pi a^3$
D: $\dfrac{\sqrt 2}{30}\pi a^3$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
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    立体几何
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    空间几何体
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    空间组合体
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    空间几何体的补形
  • 知识点
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    立体几何
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    空间几何体
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    空间几何体的形体分析
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    空间几何体的体积
【答案】
C
【解析】
棱长为 $a$ 的正四面体的补形平行六面体为棱长为 $\dfrac{a}{\sqrt 2}$ 的正方体，因此其棱切球的直径为 $\dfrac{a}{\sqrt 2}$，进而所求体积为 $\dfrac{\sqrt 2}{24}\pi a^3$．
题目 答案 解析 备注
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