设实数数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_{n+1}=a_{n+1}S_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
【难度】
【出处】
2011年高考重庆卷（理）
【标注】
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若 $a_1,S_2,-2a_2$ 成等比数列，求 $S_2$ 和 $a_3$；标注答案$S_2=-2$，$a_3=\dfrac 23$解析根据题意，有\[a_1+a_2=a_1\cdot a_2,\]于是由\[\dfrac{S_2}{a_1}=\dfrac{-2a_2}{S_2},\]可得\[S_2=a_1+a_2=a_1\cdot a_2=-2,\]又\[a_1+a_2+a_3=a_3\cdot (a_1+a_2),\]解得 $a_3=-\dfrac 23$．
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求证：对 $k\geqslant 3$，有 $0\leqslant a_{k+1}\leqslant a_k\leqslant \dfrac 43$．标注答案略解析由已知条件可得$$S_{n+1}=(S_{n+1}-S_n)\cdot S_n,$$于是$$S_{n+1}=\dfrac{S_n^2}{S_n-1},a_{n}=S_{n+1}-S_n=\dfrac{S_n}{S_n-1}=\dfrac{S_{n+1}}{S_n}.$$欲证结论为数列 $\left\{a_n\right\}$ 从第三项起不增且各项都在区间 $\left[0,\dfrac 43\right]$ 上，我们分两步证明：
先证明数列 $\left\{a_n\right\}$ 从第三项起各项都在区间 $\left[0,\dfrac 43\right]$ 上，即数列 $\{S_n\}$ 从第三项起不减，且$$0\leqslant \dfrac{S_n}{S_n-1}\leqslant \dfrac 43$$对 $n\geqslant 3$ 恒成立．
利用迭代函数法研究该递推数列．通过求导研究单调性得到函数 $f(x)=\dfrac {x^2}{x-1}$ 的图象如下：
容易得到 $S_2\geqslant 4$ 或 $S_2\leqslant 0$，而当 $x<0$ 或 $x\geqslant 4$ 时，都有 $f(x)>x$，且 $f(x)$ 单调递增，因此 $\{S_n\}$ 从第二项起单调递增或者为常数列（零数列），而当 $x\leqslant 0$ 或 $x\geqslant 4$ 时，有$$\dfrac {x}{x-1}\in\left[0,\dfrac 43\right ],$$故第一步得证．
下面证明从第三项起数列 $\{a_n\}$ 不增，因为$$a_{n+1}=\dfrac {S_{n+1}}{S_n}=\dfrac {S_n}{S_n-1}=1+\dfrac {1}{S_n-1},$$而 $n\geqslant 2$ 时，$\{S_n\}$ 不减，故 $n\geqslant 3$ 时，$\{a_n\}$ 不增．
综上原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
