题目 设 $m > 3$，对于有穷数列 $\left\{ {a_n}\right\} $（$n = 1,2, \cdots ,m$），令 ${b_k}$ 为 ${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_k}$ 中的最大值，称数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 为 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的＂创新数列＂．数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 中不相等项的个数称为 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的＂创新阶数＂．例如数列 $2,1,3,7,5$ 的创新数列为 $ 2,2,3,7,7 $，创新阶数为 $ 3 $．考察自然数 $1,2, \cdots ,m\left(m > 3\right)$ 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 $\left\{ {c_n}\right\} $． 问题1 若 $ m=5 $，写出创新数列为 $ 3,4,4,5,5 $ 的所有数列 $\left\{ {c_n}\right\} $； 答案1 数列 $ 3,4,1,5,2 $；数列 $ 3,4,2,5,1$ 解析1 数列 $ 3,4,1,5,2 $；数列 $ 3,4,2,5,1$． 备注1 问题2 是否存在数列 $\left\{ {c_n}\right\} $，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列 $\left\{ {c_n}\right\} $，若不存在，请说明理由； 答案2 略 解析2 <case>情形1</case>若 $\{c_n\}$ 的创新数列为常数列 $k,k,\cdots,k$，则 $k$ 为数列 $\{c_n\}$ 中最大项，即 $k=m$．<br/>于是 $\{c_n\}$ 为 $m,P(1,2,\cdots,m-1)$，其中 $P(1,2,\cdots,m-1)$ 表示 $1,2,\cdots,m-1$ 的任意排列．<br/><case>情形2</case>若 $\{c_n\}$ 的创新数列为非常数列的等差数列，则数列 $\{c_n\}$ 为单调递增数列，于是 $\{c_n\}$ 为 $1,2,3,\cdots,m$． 备注2 问题3 在创新阶数为 $ 2 $ 的所有数列 $\left\{ {c_n}\right\} $ 中，求它们的首项的和． 答案3 $\displaystyle \left(m - 1\right){!_{}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\dfrac{k}{m - k}}$ 解析3 设 $\left\{ {c_n}\right\} $ 的创新数列为 $\left\{ {e_n}\right\} \left(n = 1,2, \cdots ,m\right)$，<br/>由（2）知，${e_m} = m$，<br/>由题意，得 ${e_{ 1 }} = {c_1}$，<br/>所以当数列 $\left\{ {c_n}\right\} $ 的创新阶数为 $ 2 $ 时，$\left\{ {e_n}\right\} $ 必然为 ${c_1},{c_1}, \cdots ,{c_1},m,m, \cdots ,m$（其中 ${c_1} < m$），<br/>由排列组合知识，得创新数列为 $k,k, \cdots ,k,m,m, \cdots ,m\left(k < m\right)$ 的符合条件的 $\left\{ {c_n}\right\} $ 的个数为\[ \begin{split} {\mathrm{C}}_{m - 1}^{m - k} \cdot {\mathrm{A}}_{m - k - 1}^{m - k - 1} \cdot {\mathrm{A}}_{k - 1}^{k - 1} = \dfrac{1}{m - k}{\mathrm{A}}_{m - 1}^{m - k} \cdot {\mathrm{A}}_{k - 1}^{k - 1} = \dfrac{1}{m - k}\left(m - 1\right)!,\end{split} \]所以，在创新阶数为 $ 2 $ 的所有数列 $\left\{ {c_n}\right\} $ 中，它们的首项的和为\[\sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {k \cdot \dfrac{\left(m - 1\right)!}{m - k}} = \left(m - 1\right){!_{}} \cdot \sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\dfrac{k}{m - k}} .\] 备注3