已知 $M$ 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 $f(x)\in M$，① 方程 $f(x)-x=0$ 有实数根；② 函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 满足 $0<f'(x)<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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判断函数 $f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin x}{4}$ 是否是集合 $M$ 中的元素，并说明理由；标注答案$f(x)\in M$解析考虑 ①，即$$\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin x}{4}-x=0,$$整理得 $\dfrac{\sin x}{4}=\dfrac{x}{2}$，显然有实根 $x=0$；
考虑 ②，即$$f'(x)=\dfrac12+\dfrac{\cos x}{4}\in\left[\dfrac14,\dfrac34\right],$$所以 $0<f'(x)<1$．
因此，$f(x)\in M$． -
集合 $M$ 中的元素 $f(x)$ 具有下面的性质：若 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则对于任意 $[m,n]\subseteq D$，都存在 $x_0\in(m,n)$，使得等式 $f(n)-f(m)=(n-m)f'(x_0)$ 成立．试用这一性质证明：方程 $f(x)-x=0$ 有且只有一个实数根；标注答案略解析用反证法，根据 ①，则 $f(x)-x=0$ 有实数根．
若 $f(x)-x=0$ 有两个或两个以上的实根，不妨设 $x_1<x_2$ 且 $f(x_1)-x_1=0,f(x_2)-x_2=0$．
考虑区间 $[x_1,x_2]$，由性质，$\exists x_0\in(x_1,x_2)$，使得等式 $f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)f'(x_0)$ 成立．即$$f'(x_0)=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x_1}=1,$$与 ② 矛盾．因此方程 $f(x)-x=0$ 有且仅有一个实数根． -
对任意 $f(x)\in M$，且 $x\in(a,b)$，求证：对于 $f(x)$ 定义域中任意的 $x_1,x_2,x_3$，当 $|x_2-x_1|<1$，且 $|x_3-x_1|<1$ 时，$|f(x_3)-f(x_2)|<2$．标注答案略解析先证明引理：$\forall f(x)\in M$，且 $x\in(a,b),|f(x_2)-f(x_1)|\leqslant|x_2-x_1|$．
证明如下：不妨设 $x_1\leqslant x_2$，则由 ②，$f(x)$ 是单调递增函数，于是$$|f(x_2)-f(x_1)|\leqslant|x_2-x_1|,$$整理得$$f(x_2)-x_2\leqslant f(x_1)-x_1,$$而由 ②，$[f(x)-x]'<0$，所以 $y=f(x)-x$ 是单调递减函数，因此引理成立．
于是\[\begin{split}|f(x_3)-f(x_2)|&=|f(x_3)-f(x_1)+f(x_1)-f(x_2)|\\&\leqslant|f(x_3)-f(x_1)|+|f(x_2)-f(x_1)|\\&\leqslant|x_3-x_1|+|x_2-x_1|\\&<2,\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
