已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{a-x}-1$（其中 $a$ 为常数，$x\ne a$）．利用函数 $y=f(x)$ 构造一个数列 $\{x_{n}\}$，方法如下：
对于给定的定义域中的 $x_{1}$，令 $x_{2}=f(x_{1})$，$x_{3}=f(x_{2})$，$\cdots$，$x_{n}=f(x_{n-1})$，$\cdots$
在上述构造过程中，如果 $x_{i}(i=1,2,3,\cdots)$ 在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果 $x_{i}$ 不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
对于给定的定义域中的 $x_{1}$，令 $x_{2}=f(x_{1})$，$x_{3}=f(x_{2})$，$\cdots$，$x_{n}=f(x_{n-1})$，$\cdots$
在上述构造过程中，如果 $x_{i}(i=1,2,3,\cdots)$ 在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果 $x_{i}$ 不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
当 $a=1$ 且 $x_{1}=-1$ 时，求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；标注答案$x_{n}=-\dfrac{1}{n}$解析因为$$f(x)=\dfrac{1}{1-x}-1=\dfrac{x}{1-x},$$不动点为 $x=0$，所以取辅助数列 $y_{n}=\dfrac{1}{x_{n}}$，则\[\dfrac{1}{y_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{y_{n}}}{1-\dfrac{1}{y_{n}}},\]即$$y_{n+1}=y_{n}-1,$$所以 $y_{n}=-n$，从而 $x_{n}=-\dfrac{1}{n}$．
-
如果可以用上述方法构造出一个常数列，求 $a$ 的取值范围；标注答案$(-\infty,-3]\cup [1,+\infty)$解析若可以构造出一个常数列，则不动点方程为$$\dfrac{1}{a-x}-1=x,$$即 $x^{2}+(1-a)x+(1-a)=0$ 有解，所以\[\Delta =(1-a)^{2}-4(1-a)\geqslant 0,\]解得 $a\leqslant -3$ 或 $a\geqslant 1$．
因此 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,-3]\cup [1,+\infty)$． -
是否存在实数 $a$，使得取定义域中的任一实数值作为 $x_{1}$，都可用上述方法构造出一个无穷数列 $\{x_{n}\}$？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．标注答案存在，$-1$解析若要符合题意，则方程 $\dfrac{1}{a-x}-1=a$ 即$$(1+a)x-(a^{2}+a-1)=0$$在定义域 $\mathbb R \setminus \{a\}$ 无解，所以 $a=-1$．
因此存在实数 $a=-1$ 符合题意．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
