若 $(1+x+x^2)^{1000}$ 的展开式为 $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2000}x^{2000}$，则 $a_0+a_3+a_6+a_9+\cdots+a_{1998}$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
设\[\begin{split} A&=a_0+a_3+a_6+a_9+\cdots+a_{1998},\\
B&=a_1+a_4+a_7+a_{10}+\cdots+a_{1999},\\
C&=a_2+a_5+a_8+a_{11}+\cdots+a_{2000},\end{split}\]记 $\omega=\cos\dfrac{2\pi}3+{\rm i}\sin\dfrac{2\pi}3$，则分别令 $x=1,\omega,\omega^2$，则\[\begin{split}(1+1+1^2)^{1000}&=A+B+C,\\
(1+\omega+\omega^2)^{1000}&=A+B\omega+C\omega^2,\\
(1+\omega^2+\omega)^{1000}&=A+B\omega^2+C\omega,\end{split}\]也即\[\begin{split}A+B+C&=3^{1000},\\
A+B\omega+C\omega^2&=0,\\
A+B\omega^2+C\omega&=0,\end{split}\]三式相加，可得\[3A=3^{1000},\]于是\[A=3^{999}.\]
B&=a_1+a_4+a_7+a_{10}+\cdots+a_{1999},\\
C&=a_2+a_5+a_8+a_{11}+\cdots+a_{2000},\end{split}\]记 $\omega=\cos\dfrac{2\pi}3+{\rm i}\sin\dfrac{2\pi}3$，则分别令 $x=1,\omega,\omega^2$，则\[\begin{split}(1+1+1^2)^{1000}&=A+B+C,\\
(1+\omega+\omega^2)^{1000}&=A+B\omega+C\omega^2,\\
(1+\omega^2+\omega)^{1000}&=A+B\omega^2+C\omega,\end{split}\]也即\[\begin{split}A+B+C&=3^{1000},\\
A+B\omega+C\omega^2&=0,\\
A+B\omega^2+C\omega&=0,\end{split}\]三式相加，可得\[3A=3^{1000},\]于是\[A=3^{999}.\]
题目
答案
解析
备注
