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  等比数列的前n项和

是 $B-$ 数列

记题中不等式左边为 $\sigma (u_n)$．设数列 $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$，其中 $a_{1}=1$，$|q|<1$，则\[\begin{split}\sigma(a_n)&=\left|a_{n+1}-a_{n}\right|+\left|a_{n}-a_{n-1}\right|+\cdots+\left|a_{3}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{1}\right|\\&=\left|a_{2}-a_{1}\right|\left(\left|q\right|^{n}+\left|q\right|^{n-1}+\cdots+\left|q\right|^{2}+\left|q\right|+1\right)\\&=\left|a_{1}\right|\cdot \left|q-1\right|\cdot \dfrac{1-\left|q\right|^{n+1}}{1-\left|q\right|}\\&\leqslant \left|a_{1}\right|\cdot \dfrac{\left|q-1\right|}{1-\left|q\right|},\end{split}\]所以首项为 $1$，公比为 $q(|q|<1)$ 的等比数列为 $B-$ 数列．

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略

如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{条件} & A\text{ ① } & A\text{ ① }& A\text{ ② } & A\text{ ② } & B\text{ ① }& B\text{ ① } & B\text{ ② } & B\text{ ② }\\ \hline \text{结论} & B\text{ ① } & B\text{ ② } & B\text{ ① } & B\text{ ② } & A\text{ ① } & A\text{ ② }& A\text{ ① } & A\text{ ② } \\ \hline \text{真假} & \text{假(反例1)} & \text{假(反例2)} & \text{假(反例3)} &\text{真(命题一)} & \text{真(命题二)} & && \\ \hline \end{array}\]反例1数列 $x_{n}=1$ 是 $B-$ 数列，但 $S_{n}=n$ 不是 $B-$ 数列．
反例2数列 $\{x_{n}=0\}$ 是 $B-$ 数列，且 $S_{n}=0$ 也为 $B-$ 数列．
反例3数列 $x_{n}=n$ 不是 $B-$ 数列，且 $S_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$ 也不是 $B-$ 数列．
命题一命题二互为逆否命题，下面证明命题二．
若 $\{S_{n}\}$ 是 $B-$ 数列，则存在 $M>0$，使得$$\left|S_{n+1}-S_{n}\right|+\left|S_{n}-S_{n-1}\right|+\cdots+\left|S_{3}-S_{2}\right|+\left|S_{2}-S_{1}\right|\leqslant M,$$即\[\left|a_{n+1}\right|+\left|a_{n}\right|+\cdots+\left|a_{3}\right|+\left|a_{2}\right|\leqslant M,\]而\[\begin{split}\sigma(a_n)&=\left|a_{n+1}-a_{n}\right|+\left|a_{n}-a_{n-1}\right|+\cdots+\left|a_{3}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{1}\right|\\&\leqslant \left(\left|a_{n+1}\right|+\left|a_{n}\right|\right)+\left(\left|a_{n}\right|+\left|a_{n-1}\right|\right)+\cdots+\left(\left|a_{3}\right|+\left|a_{2}\right|\right)+\left(\left|a_{2}\right|+\left|a_{1}\right|\right)\\&=\left|a_{n+1}\right|+2\left|a_{n}\right|+2\left|a_{n-1}\right|+\cdots+2\left|a_{3}\right|+2\left|a_{2}\right|+\left|a_{1}\right|\\&=2M-\left|a_{n+1}\right|+\left|a_{1}\right|\\&\leqslant 2M+\left|a_{1}\right|,\end{split}\]所以 $\{x_{n}\}$ 是 $B-$ 数列．

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  数列的有界性

略

假设$$\begin{split}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|+\left|a_{n}-a_{n-1}\right|+\cdots+\left|a_{3}-a_{2}\right|+\left|a_{2}-a_{1}\right|&\leqslant M,\\ \left|b_{n+1}-b_{n}\right|+\left|b_{n}-b_{n-1}\right|+\cdots+\left|b_{3}-b_{2}\right|+\left|b_{2}-b_{1}\right|&\leqslant N,\end{split}$$则考虑\[\begin{split}\left|a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right|&=\left|a_{k+1}b_{k+1}-a_{k+1}b_{k}+a_{k+1}b_{k}-a_{k}b_{k}\right|\\ &\leqslant \left|a_{k+1}\right|\cdot \left|b_{k+1}-b_{k}\right|+\left|b_{k}\right|\cdot \left|a_{k+1}-a_{k}\right|.\end{split}\]考虑到\[\begin{split}\left|a_{k+1}\right|&=\left|a_{k+1}-a_{k}+a_{k}-a_{k-1}+\cdots+a_{2}-a_{1}+a_{1}\right|\\&\leqslant \left|a_{k+1}-a_{k}\right|+\left|a_{k}-a_{k-1}\right|+\cdots+\left|a_{2}-a_{1}\right|+\left|a_{1}\right|\\&\leqslant M+\left|a_{1}\right|.\end{split}\]类似的有$$\left|b_{k}\right|\leqslant N+\left|b_{1}\right|.$$所以\[\left|a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right|\leqslant \left(M+\left|a_{1}\right|\right)\cdot \left|b_{k+1}-b_{k}\right|+\left(N+\left|b_{1}\right|\right)\cdot \left|a_{k+1}-a_{k}\right|,\]因此\[\begin{split}\sigma(a_nb_n)&=\left|a_{n+1}b_{n+1}-a_{n}b_{n}\right|+\left|a_{n}b_{n}-a_{n-1}b_{n-1}\right|+\cdots+\left|a_{3}b_{3}-a_{2}b_{2}\right|+\left|a_{2}b_{2}-a_{1}b_{1}\right|\\&\leqslant \left(M+\left|a_{1}\right|\right)N+\left(N+\left|b_{1}\right|\right)\cdot M\\&=2MN+N\left|a_{1}\right|+M\left|b_{1}\right|.\end{split}\]从而 $\{a_{n}b_{n}\}$ 也是 $B-$ 数列，原命题得证．