题目 已知 $u={y^2}-{x^2}$，$v=2xy$． 问题1 若点 $\left({x,y}\right)$ 在单位圆上运动，求点 $\left({u,v}\right)$ 的轨迹； 答案1 $u^2+v^2=1$ 解析1 设\[\begin{cases}x=\sin\theta,\\ y=\cos\theta,\end{cases}\]则根据题意，有\[\begin{cases} u=\cos 2\theta,\\ v=\sin 2\theta,\end{cases}\]因此点 $(u,v)$ 的轨迹是 $u^2+v^2=1$． 备注1 问题2 若点 $\left({x,y}\right)$ 在直线 $y=ax+b$ 上运动，而点 $\left({u,v}\right)$ 在过点 $\left({1,1}\right)$ 的直线上运动，求 $a,b$ 的值． 答案2 $a=1\pm\sqrt 2$，$b=0$ 解析2 显然点 $(u,v)$ 不可能在直线 $x=1$ 上运动，设其轨迹方程为\[v=k(u-1)+1,\]则\[2xy=k\left(y^2-x^2-1\right)+1,\]与 $y=ax+b$ 联立，可得\[2x(ax+b)=k\left[(ax+b)^2-x^2-1\right]+1,\]对比系数可得\[\begin{cases}2a=k(a^2-1),\\ 2b=2abk,\\ 0=k(b^2-1)+1,\end{cases}\]解得 $(a,b,k)=\left(1\pm\sqrt 2,0,1\right)$．于是 $a=1\pm\sqrt 2$，$b=0$． 备注2