已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，$a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_n+\dfrac 1n$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{(n+2)(n-1)}{4}$
【解析】
由已知得，$$a_{n+1}+\dfrac 12 =\dfrac{n+2}{n}\left(a_n+\dfrac 12\right).$$令 $b_n=a_n+\dfrac 12$，则$$b_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}b_n,$$故\[\begin{split}\dfrac{b_{n+1}}{b_1}&=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \dfrac{b_n}{b_{n-1}}\cdot \cdots \cdot \dfrac{b_2}{b_1}\\&=\dfrac{n+2}{n}\cdot \dfrac{n+1}{n-1}\cdot\dfrac{n}{n-2}\cdot \cdots \cdot \dfrac 42 \cdot \dfrac31\\&=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2}. \end{split}\]因为 $b_n=a_n+\dfrac 12$，$b_1=\dfrac 12$，所以$$a_n=\dfrac{(n+1)n}{4}-\dfrac 12=\dfrac{(n-1)(n+2)}{4}.$$
答案
解析
备注
