已知 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点，点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 在椭圆 $C$ 上．若 $x_1+x_2=\dfrac 12$，且 $\overrightarrow{AF_2}=\lambda \overrightarrow{F_2B}$，求 $\lambda$ 的值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{3-\sqrt 5}{2}$ 或 $\dfrac{3+\sqrt 5}{2}$
【解析】
由 $\overrightarrow{F_2A}=\lambda\overrightarrow{F_2B}$ 知，$A,B,F_2$ 三点共线．
若直线 $AB\perp x$ 轴，则 $x_1=x_2=1$，不符合要求；
若直线 $AB$ 斜率存在，设为 $k$，则直线 $AB$ 的方程为 $y=k(x-1)$，由$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1,\\ y=k(x-1),\end{cases}$$得$$(4k^2+3)x^2-8k^2x+4k^2-12=0.\cdots{\text{ ① }}$$因为 ① 的判别式$$\begin{split}\Delta&=64k^4-4(4k^2+3)(4k^2-12)\\ &=144(k^2+1)>0,\end{split}$$所以$$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{8k^2}{4m^2+3},\\x_1x_2=\dfrac{4k^2-12}{4k^2+3}.\end{cases}$$由$$x_1+x_2=\dfrac{8k^2}{4k^2+3}=\dfrac 12$$可得 $k^2=\dfrac 14$．
将 $k^2=\dfrac 14$ 代入方程 ①，得$$4x^2-2x-11=0,$$解得 $x=\dfrac{1\pm 3\sqrt 5}{4}$．
又因为$$\overrightarrow{AF_2}=(1-x_1,-y_1),\overrightarrow{F_2B}=(x_2-1,y_2),\overrightarrow{F_2A}=\lambda \overrightarrow{F_2B},$$所以$$\lambda=\dfrac{1-x_1}{x_2-1},$$故 $\lambda =\dfrac{3-\sqrt 5}{2}$ 或 $\lambda=\dfrac{3+\sqrt 5}{2}$．
若直线 $AB\perp x$ 轴，则 $x_1=x_2=1$，不符合要求；
若直线 $AB$ 斜率存在，设为 $k$，则直线 $AB$ 的方程为 $y=k(x-1)$，由$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1,\\ y=k(x-1),\end{cases}$$得$$(4k^2+3)x^2-8k^2x+4k^2-12=0.\cdots{\text{ ① }}$$因为 ① 的判别式$$\begin{split}\Delta&=64k^4-4(4k^2+3)(4k^2-12)\\ &=144(k^2+1)>0,\end{split}$$所以$$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{8k^2}{4m^2+3},\\x_1x_2=\dfrac{4k^2-12}{4k^2+3}.\end{cases}$$由$$x_1+x_2=\dfrac{8k^2}{4k^2+3}=\dfrac 12$$可得 $k^2=\dfrac 14$．
将 $k^2=\dfrac 14$ 代入方程 ①，得$$4x^2-2x-11=0,$$解得 $x=\dfrac{1\pm 3\sqrt 5}{4}$．
又因为$$\overrightarrow{AF_2}=(1-x_1,-y_1),\overrightarrow{F_2B}=(x_2-1,y_2),\overrightarrow{F_2A}=\lambda \overrightarrow{F_2B},$$所以$$\lambda=\dfrac{1-x_1}{x_2-1},$$故 $\lambda =\dfrac{3-\sqrt 5}{2}$ 或 $\lambda=\dfrac{3+\sqrt 5}{2}$．
答案
解析
备注
