在平面直角坐标系中，设 $A,B,C$ 是曲线 $xy=1$ 上三个不同的点，且 $D,E,F$ 分别是 $BC,CA,AB$ 的中点．求证：$\triangle DEF$ 的外接圆经过原点 $O$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $O$ 不与 $D,E,F$ 之中的任何一点重合．
设 $A\left(a,\dfrac{1}{a}\right)$，$B\left(b,\dfrac{1}{b}\right)$，$C\left(c,\dfrac{1}{c}\right)$，则 $BC$ 的中点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac{1}{2}(b+c),\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right)$，因此我们有 $k_{OD}=\dfrac{1}{bc}$，这里 $k_{OD}$ 表示直线 $OD$ 的斜率，以下同此．
注意到 $FE\parallel BC$，有$$k_{FE}=k_{BC}=\dfrac{\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}}{b-c}=-\dfrac{1}{bc}.$$可见$$k_{FE}=-k_{OD}.$$同理$$k_{FD}=-k_{OE}.$$若从直线 $OD$ 旋转到直线 $OE$ 的角为 $\alpha$，从直线 $FD$ 旋转到直线 $FE$ 的角为 $\beta$，则有\[\tan\alpha=\dfrac{k_{OE}-k_{OD}}{1+k_{OE}k_{OD}}=\dfrac{k_{FE}-k_{FD}}{1+k_{FE}k_{FD}}=\tan \beta.\]即$$\tan\alpha=\tan\beta,$$故 $\alpha$ 与 $\beta$ 相差 $\pi$ 的整数倍．由此即知 $O,D,E,F$ 四点共圆，即 $O$ 在 $\triangle DEF$ 的外接圆上．
设 $A\left(a,\dfrac{1}{a}\right)$，$B\left(b,\dfrac{1}{b}\right)$，$C\left(c,\dfrac{1}{c}\right)$，则 $BC$ 的中点 $D$ 的坐标为 $\left(\dfrac{1}{2}(b+c),\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right)$，因此我们有 $k_{OD}=\dfrac{1}{bc}$，这里 $k_{OD}$ 表示直线 $OD$ 的斜率，以下同此．
注意到 $FE\parallel BC$，有$$k_{FE}=k_{BC}=\dfrac{\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}}{b-c}=-\dfrac{1}{bc}.$$可见$$k_{FE}=-k_{OD}.$$同理$$k_{FD}=-k_{OE}.$$若从直线 $OD$ 旋转到直线 $OE$ 的角为 $\alpha$，从直线 $FD$ 旋转到直线 $FE$ 的角为 $\beta$，则有\[\tan\alpha=\dfrac{k_{OE}-k_{OD}}{1+k_{OE}k_{OD}}=\dfrac{k_{FE}-k_{FD}}{1+k_{FE}k_{FD}}=\tan \beta.\]即$$\tan\alpha=\tan\beta,$$故 $\alpha$ 与 $\beta$ 相差 $\pi$ 的整数倍．由此即知 $O,D,E,F$ 四点共圆，即 $O$ 在 $\triangle DEF$ 的外接圆上．
答案
解析
备注
