在平面直角坐标系中，设 $A,B,C$ 是曲线 $xy=1$ 上三个不同的点，且 $D,E,F$ 分别是 $BC,CA,AB$ 的中点．求证：$\triangle DEF$ 的外接圆经过原点 $O$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $O$ 不与 $D,E,F$ 之中的任何一点重合．
设 $A\left(a,\dfrac{1}{a}\right)$，$B\left(b,\dfrac{1}{b}\right)$，$C\left(c,\dfrac{1}{c}\right)$，则 $D\left(\dfrac{1}{2}(b+c),\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right)$，并求出 $OD$ 的斜率为 $\dfrac{1}{bc}$．
从而可得 $OD$ 的中垂线方程为\[y-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=-bc\left(x-\dfrac{1}{4}(b+c)\right).\]同理可求得 $OE$ 的中垂线方程为\[y-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=-ca\left(x-\dfrac{1}{4}(c+a)\right).\]联立以上两式，便得到 $OD$ 和 $OE$ 的中垂线之交点坐标$$\left(\dfrac{1}{4}\left(a+b+c-\dfrac{1}{abc}\right),\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-abc\right)\right).$$容易看到，它关于 $a,b,c$ 是全对称的，所以它也在 $OF$ 的中垂线上，该点到 $O,D,E,F$ 的距离相等，所以 $O,D,E,F$ 四点共圆．
设 $A\left(a,\dfrac{1}{a}\right)$，$B\left(b,\dfrac{1}{b}\right)$，$C\left(c,\dfrac{1}{c}\right)$，则 $D\left(\dfrac{1}{2}(b+c),\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right)$，并求出 $OD$ 的斜率为 $\dfrac{1}{bc}$．
从而可得 $OD$ 的中垂线方程为\[y-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=-bc\left(x-\dfrac{1}{4}(b+c)\right).\]同理可求得 $OE$ 的中垂线方程为\[y-\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)=-ca\left(x-\dfrac{1}{4}(c+a)\right).\]联立以上两式，便得到 $OD$ 和 $OE$ 的中垂线之交点坐标$$\left(\dfrac{1}{4}\left(a+b+c-\dfrac{1}{abc}\right),\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-abc\right)\right).$$容易看到，它关于 $a,b,c$ 是全对称的，所以它也在 $OF$ 的中垂线上，该点到 $O,D,E,F$ 的距离相等，所以 $O,D,E,F$ 四点共圆．
答案
解析
备注
