已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $|z^2-z-2|$ 的最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $z=a+b{\rm i}$，其中 $a,b\in\mathbb R$ 且\[a^2+b^2=1,\]则\[\begin{split}
|z^2-z-2|&=|z^2-z-2|\cdot |\overline z|\\
&=|z-2\overline z-1|\\
&=|(-a-1)+3b{\rm i}|\\
&=\sqrt{(a+1)^2+9b^2}\\
&=\sqrt{(a+1)^2+9(1-a^2)}\\
&=\sqrt{-8a^2+2a+10}\\
&\leqslant \dfrac{9\sqrt{2}}4,
\end{split}\]等号当 $a=\dfrac 18$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{9\sqrt 2}4$．
|z^2-z-2|&=|z^2-z-2|\cdot |\overline z|\\
&=|z-2\overline z-1|\\
&=|(-a-1)+3b{\rm i}|\\
&=\sqrt{(a+1)^2+9b^2}\\
&=\sqrt{(a+1)^2+9(1-a^2)}\\
&=\sqrt{-8a^2+2a+10}\\
&\leqslant \dfrac{9\sqrt{2}}4,
\end{split}\]等号当 $a=\dfrac 18$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{9\sqrt 2}4$．
题目
答案
解析
备注
