已知 $x,y\geqslant 0$，且 $(1+x)(1+y)=2$，求证：$\sqrt{1+x^2}\cdot \sqrt{1+y^2}\geqslant 4-2\sqrt 2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题目条件得到$$y=\dfrac {1-x}{1+x},$$于是$$1+y^2=1+\left(\dfrac {1-x}{1+x}\right )^2=\dfrac {2(1+x^2)}{(1+x)^2}.$$代入所证不等式左边得到$$ LHS=\dfrac {\sqrt 2\cdot(1+x^2)}{1+x}=\sqrt 2\left(1+x+\dfrac {2}{1+x}-2\right )\geqslant \sqrt 2(2\sqrt 2-2).$$当且仅当 $x=\sqrt 2-1$ 时取到等号．
答案
解析
备注
