已知两个动点 $A$，$B$ 及一个定点 $M(x_0,y_0)$ 均在抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 上（$A$，$B$ 与 $M$ 不重合）．设 $F$ 为抛物线的焦点，$Q$ 为对称轴上一点，若 $\left(\overrightarrow{QA}+\dfrac 12 \overrightarrow{AB}\right)\cdot \overrightarrow{AB}=0$，且 $|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FM}|,|\overrightarrow{FB}|$ 成等差数列．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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求 $\overrightarrow{OQ}$ 的坐标；标注答案$(x_0+p,0)$解析设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$Q(a,0)$．
因为 $|\overrightarrow{FA}|,|\overrightarrow{FM}|,|\overrightarrow{FB}|$ 成等差数列，所以$$x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}.$$又\[\begin{split}&y_1^2=2px_1,\cdots {\text{ ① }}\\ &y_2^2=2px_2,\cdots {\text{ ② }}\end{split}\]① - ② 得$$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{2p}{y_1+y_2}.$$又因为$$\left(\overrightarrow{QA}+\dfrac 12 \overrightarrow{AB}\right)\cdot \overrightarrow{AB}=0,$$得$$a=x_0+p,$$所以 $\overrightarrow{OQ}=(x_0+p,0)$． -
若 $|\overrightarrow{OQ}|=3$，$|\overrightarrow{FM}|=\dfrac 52$，$A,B$ 两点在抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 准线上的射影分别为 $A_1,B_1$，求四边形 $ABB_1A_1$ 面积的取值范围．标注答案$(0,10]$解析由 $|\overrightarrow{OQ}|=3$，$|\overrightarrow{FM}|=\dfrac 52$ 得$$p=1,y^2=2x,x_0=2,$$所以\[\begin{split}S_{ABB_1A_1}&=\dfrac{\left[\left(x+\dfrac 12\right)+\left(x_2+\dfrac 12\right)\right]|y_1-y_2|}{2}\\&=\dfrac 52|y_1-y_2|.\end{split}\]因为\[\begin{split}&(y_1-y_2)^2=y_1^2+y_2^2-2y_1y_2=2(x_1+x_2)-2y_1y_2,\\&y_1=\pm \sqrt{2x_1},y_2=\pm \sqrt{2x_2},\end{split}\]所以 $y_1y_2=\pm 2\sqrt{x_1x_2}$，而$$0\leqslant 2\sqrt{x_1x_2}\leqslant x_1+x_2=4,$$所以 $-4\leqslant y_1y_2\leqslant 4$，从而$$0\leqslant (y_1-y_2)^2=8-2y_1y_2\leqslant 16,$$故$$S_{ABB_1A_1}=\dfrac 52|y_1-y_2|\in(0,10],$$因此四边形 $ABB_1A_1$ 面积的取值范围为 $(0,10]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
