设 $A$，$B$ 是椭圆 $\dfrac {x^2}{2}+y^2=1$ 上两个动点，$O$ 是坐标原点，且 $\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}=0 $．又设 $P$ 点在 $AB$ 上，且 $OP\perp AB$．求 $|OP |$ 的值．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac {\sqrt 6}{3}$
【解析】
由 $\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}=0 $，不妨设 $A(a,ka)$，$B(-kb,b)$，这样$$|OA|^2=(1+k^2)a^2,|OB|^2=(1+k^2)b^2.$$由 $A$，$B$ 在椭圆上，有$$\dfrac {a^2}{2} +k^2a^2=1,\dfrac {k^2b^2}{2} +b^2=1.$$因此$$a^2=\dfrac {1}{k^2+\dfrac 12},b^2=\dfrac 1{1+\dfrac {k^2}{2}}.$$现在，在 $\mathrm {Rt}\triangle OAB$ 中，$$|PO|^2=\dfrac {|OA |^2|OB|^2}{|AB|^2},$$所以$$|OP|^2=\dfrac {(1+k^2)a^2b^2}{a^2+b^2}=\dfrac {1+k^2}{\left(1+\dfrac {k^2}{2}\right)+\left(k^2+\dfrac 12\right)}=\dfrac 23.$$因此 $|OP|=\dfrac {\sqrt 6}{3}$．
答案
解析
备注
