设 $A$，$B$ 是椭圆 $\dfrac {x^2}{2}+y^2=1$ 上两个动点，$O$ 是坐标原点，且 $\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}=0 $．又设 $P$ 点在 $AB$ 上，且 $OP\perp AB$．求 $|OP |$ 的值．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac {\sqrt 6}{3}$
【解析】
不妨设 $OA$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\alpha$，$OB$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\alpha +\dfrac {\pi}{2}$．因此可以设 $A(a\cos \alpha,a\sin \alpha)$，$B(-b\sin \alpha,b\cos \alpha)$．
带入椭圆方程得$$a^2\left(\dfrac 12\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha \right)=1 ,b^2\left(\dfrac 12 \sin^2 \alpha+\cos ^2\alpha \right)=1.$$由此可见$$\dfrac {1}{a^2}+\dfrac {1}{b^2}=\dfrac {1}{2}+1=\dfrac {3}{2},$$也即$$\dfrac {a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac 32.$$在 $\mathrm {Rt}\triangle OAB$ 中，$$|OP|\cdot|AB|=|OA|\cdot|OB|,$$所以$$|OP|^2=\dfrac {a^2b^2}{a^2+b^2}=\dfrac 23.$$因此 $|OP|=\dfrac {\sqrt 6}{3}$．
带入椭圆方程得$$a^2\left(\dfrac 12\cos ^2\alpha +\sin ^2\alpha \right)=1 ,b^2\left(\dfrac 12 \sin^2 \alpha+\cos ^2\alpha \right)=1.$$由此可见$$\dfrac {1}{a^2}+\dfrac {1}{b^2}=\dfrac {1}{2}+1=\dfrac {3}{2},$$也即$$\dfrac {a^2+b^2}{a^2b^2}=\dfrac 32.$$在 $\mathrm {Rt}\triangle OAB$ 中，$$|OP|\cdot|AB|=|OA|\cdot|OB|,$$所以$$|OP|^2=\dfrac {a^2b^2}{a^2+b^2}=\dfrac 23.$$因此 $|OP|=\dfrac {\sqrt 6}{3}$．
答案
解析
备注
