在四面体 $ABCD$ 内部有一点 $O$，满足 $OA=OB=OC=4$，$OD=1$，求四面体 $ABCD$ 体积的最大值．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
$9\sqrt 3$
【解析】
首先，固定 $A$，$B$，$C$，$O$ 四点时，要使四面体 $ABCD$ 的体积最大，则 $D$ 到平面 $ABC$ 的距离应最大．
因为 $D$ 点在以 $O$ 为球心，$1$ 为半径的球面上运动，所以四面体 $ABCD$ 的体积取最大值时，有$$OD \perp \text{平面}ABC.$$设 $O$ 在平面 $ABC$ 的投影点为 $E$，且 $|OE|=x$，那么 $D$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $1+x$．
因为$$EA=EB=EC=\sqrt {16-x^2},$$所以$$S_{\triangle ABC}\leqslant \dfrac {3\sqrt 3}{4}(16-x^2),$$因此$$V_{ABCD}\leqslant \dfrac {\sqrt 3}{4}(16-x^2)(1+x).$$考虑函数$$f(x)=(16-x^2)(1+x),x \in (0,4),$$易知$$f'(x)=-3x^2-2x+16,$$可见 $f(x)$ 在 $(0,4)$ 上有唯一的临界点 $x=2$，因此 $f(x)$ 在 $(0,4)$ 的最大值为 $f(2)=36$．从而所求最大值为 $9\sqrt 3$．
因为 $D$ 点在以 $O$ 为球心，$1$ 为半径的球面上运动，所以四面体 $ABCD$ 的体积取最大值时，有$$OD \perp \text{平面}ABC.$$设 $O$ 在平面 $ABC$ 的投影点为 $E$，且 $|OE|=x$，那么 $D$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $1+x$．
因为$$EA=EB=EC=\sqrt {16-x^2},$$所以$$S_{\triangle ABC}\leqslant \dfrac {3\sqrt 3}{4}(16-x^2),$$因此$$V_{ABCD}\leqslant \dfrac {\sqrt 3}{4}(16-x^2)(1+x).$$考虑函数$$f(x)=(16-x^2)(1+x),x \in (0,4),$$易知$$f'(x)=-3x^2-2x+16,$$可见 $f(x)$ 在 $(0,4)$ 上有唯一的临界点 $x=2$，因此 $f(x)$ 在 $(0,4)$ 的最大值为 $f(2)=36$．从而所求最大值为 $9\sqrt 3$．
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