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已知圆 $C_1,C_2$ 均过点 $(3,4)$，且其半径之积 $r_1r_2=80$．若 $x$ 轴是 $C_1,C_2$ 的公切线，且 $C_1,C_2$ 的另一条公切线 $l$ 通过原点，则 直线 $l$ 的斜率为 \((\qquad)\)
A: $\pm\dfrac{8\sqrt 5}{11}$
B: $-\dfrac{8\sqrt 5}{11}$
C: $\pm\dfrac{8\sqrt 3}{15}$
D: $-\dfrac {8\sqrt 3}{15}$
【难度】
【出处】
2017年北京大学优特（U-Test）数学测试试题
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    二倍角公式
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆
    >
    圆与圆的位置关系
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的计算技巧
    >
    相关曲线
【答案】
B
【解析】
设圆心连线所在的直线倾斜角为 $\theta$，则 $\theta$ 为锐角，且圆 $C_1,C_2$ 的方程为\[(x-r\cot \theta)^2+(y-r)^2=r^2,\]其中 $r$ 分别取 $r_1,r_2$，于是\[(3-r\cot\theta)^2+(4-r)^2=r^2,\]整理可得\[r^2-\left(6\tan\theta+8\tan^2\theta\right)r+25\tan^2\theta=0,\]因此\[r_1r_2=25\tan^2\theta=80,\]于是\[\tan\theta=\dfrac{4}{\sqrt 5},\]进而直线 $l$ 的斜率\[k=\tan 2\theta=\dfrac{2\cdot \tan\theta}{1-\tan^2\theta}=-\dfrac{8\sqrt 5}{11}.\]
题目 答案 解析 备注
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