设 $M$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{48}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 上的一点，$P,Q,T$ 分别为点 $M$ 关于 $y$ 轴、原点、$x$ 轴的对称点，$N$ 为椭圆 $C$ 上异于 $M$ 的点，且 $MN\perp MQ$，$QN$ 与 $PT$ 的交点为 $E$，当 $M$ 沿椭圆 $C$ 运动时，求动点 $E$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4}=1(xy\ne 0)$
【解析】
设 $M(x_1,y_1)$ 为椭圆 $C$ 上的任意一点 $(x_1y_1\ne 0)$，$N(x_2,y_2)$，动点 $E$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $P(-x_1,y_1)$，$Q(-x_1,-y_1)$，$T(x_1,-y_1)$，所以\[\begin{split}&\dfrac{x_1^2}{48}+\dfrac{y_1^2}{16}=1,\cdots {\text{ ① }}\\&\dfrac{x_2^2}{48}+\dfrac{y_2^2}{16}=1\cdots {\text{ ② }}\end{split}\]① $-$ ②，得$$\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{48}+\dfrac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{16}=0.$$所以$$\dfrac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}=-\dfrac 13.$$从而$$k_{MN}\cdot k_{QN}=-\dfrac 13.$$因为 $MN\perp MQ$，所以 $k_{MN}\cdot k_{QM}=-1$．
又 $k_{QM}=\dfrac{y_1}{x_1}$，所以 $k_{MN}=-\dfrac{x_1}{y_1}$，从而 $k_{QN}=\dfrac{y_1}{3x_1}$．因此直线 $QN$ 的方程为$$y=\dfrac{y_1}{3x_1}(x+x_1)-y_1.$$因为直线 $PT$ 的方程为 $y=-\dfrac{y_1}{x_1}x$，由$$\begin{cases}y=\dfrac{y_1}{3x_1}(x+x_1)-y_1,\\y=-\dfrac{y_1}{x_1}x,\end{cases}$$解得 $\begin{cases}x=\dfrac 12 x_1,\\ y=-\dfrac 12 y_1,\end{cases}$ 所以 $x_1=2x$，$y_1=-2y$．
因为点 $(x_1,y_1)$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{48}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 上，所以 $\dfrac{x_1^2}{48}+\dfrac{y_1^2}{16}=1$，所以 $\dfrac{4x^2}{48}+\dfrac{4y^2}{16}=1$，即 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4}=1(xy\ne 0)$，此即为所求点 $E$ 的轨迹方程．
又 $k_{QM}=\dfrac{y_1}{x_1}$，所以 $k_{MN}=-\dfrac{x_1}{y_1}$，从而 $k_{QN}=\dfrac{y_1}{3x_1}$．因此直线 $QN$ 的方程为$$y=\dfrac{y_1}{3x_1}(x+x_1)-y_1.$$因为直线 $PT$ 的方程为 $y=-\dfrac{y_1}{x_1}x$，由$$\begin{cases}y=\dfrac{y_1}{3x_1}(x+x_1)-y_1,\\y=-\dfrac{y_1}{x_1}x,\end{cases}$$解得 $\begin{cases}x=\dfrac 12 x_1,\\ y=-\dfrac 12 y_1,\end{cases}$ 所以 $x_1=2x$，$y_1=-2y$．
因为点 $(x_1,y_1)$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{48}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 上，所以 $\dfrac{x_1^2}{48}+\dfrac{y_1^2}{16}=1$，所以 $\dfrac{4x^2}{48}+\dfrac{4y^2}{16}=1$，即 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{4}=1(xy\ne 0)$，此即为所求点 $E$ 的轨迹方程．
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备注
