三次函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 的图象如图所示，直线 $BD\parallel AC$，且直线 $BD$ 与函数 $f(x)$ 的图象切于点 $B$、交于点 $D$，直线 $AC$ 与函数 $f(x)$ 的图象切于点 $C$、交于点 $A$．设 $x_A,x_B,x_C,x_D$ 分别为点 $A,B,C,D$ 的横坐标，求证：$(x_A-x_B):(x_B-x_C):(x_C-x_D)=1:2:1$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江苏省复赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设函数 $f(x)$ 在点 $B(x_B,f(x_B))$ 的展开式为$$f(x)=(x-x_B)^3+a_1(x-x_B)^2+b_1(x-x_B)+f(x_B),\text{ ① }$$则$$f'(x)=3(x-x_B)^2+2a_1(x-x_B)+b_1,$$所以 $f'(x_B)=b_1$，所以切线 $BD$ 的方程为$$y=b_1(x-x_B)+f(x_B).\cdot {\text{ ② }}$$由 ①② 解得 $x=x_B$，或 $x=x_B-a_1$，所以 $x_D=x_B-a_1$．
又设函数 $f(x)$ 在点 $C(x_C,f(x_C))$ 的展开式为$$f(x)=(x-x_C)^3+a_2(x-x_C)^2+b_2(x-x_C)+f(x_C),$$则$$f'(x)=3(x-x_C)^2+2a_2(x-x_C)+b_2,$$所以 $f'(x_C)=b_2$，$x_A=x_C-a_2$．
又因 $BD\parallel AC$，所以$$f'(x_B)=f''(x_C)=b_1=b_2,$$所以$$3(x_C-x_B)^2+2a_1(x_C-x_B)=0.$$又 $x_C\ne x_B$，故有 $3(x_C-x_B)+2a_1=0$，即 $x_C=x_B-\dfrac 23 a_1$．
同理，$x_B=x_C-\dfrac 23 a_2$，所以 $a_1=-a_2$．所以\[\begin{split}x_A-x_B&=x_C-a_2-x_B\\&=x_B-\dfrac 23a_1+a_1-x_B\\&=\dfrac 13a_1.\end{split}\]又 $x_D=x_B-a_1$，$x_C=x_B-\dfrac 23 a_1$，所以 $x_C-x_D=\dfrac 13 a_1$．
综上所述得$$(x_A-x_B):(x_B-x_C):(x_C-x_D)=1:2:1.$$
又设函数 $f(x)$ 在点 $C(x_C,f(x_C))$ 的展开式为$$f(x)=(x-x_C)^3+a_2(x-x_C)^2+b_2(x-x_C)+f(x_C),$$则$$f'(x)=3(x-x_C)^2+2a_2(x-x_C)+b_2,$$所以 $f'(x_C)=b_2$，$x_A=x_C-a_2$．
又因 $BD\parallel AC$，所以$$f'(x_B)=f''(x_C)=b_1=b_2,$$所以$$3(x_C-x_B)^2+2a_1(x_C-x_B)=0.$$又 $x_C\ne x_B$，故有 $3(x_C-x_B)+2a_1=0$，即 $x_C=x_B-\dfrac 23 a_1$．
同理，$x_B=x_C-\dfrac 23 a_2$，所以 $a_1=-a_2$．所以\[\begin{split}x_A-x_B&=x_C-a_2-x_B\\&=x_B-\dfrac 23a_1+a_1-x_B\\&=\dfrac 13a_1.\end{split}\]又 $x_D=x_B-a_1$，$x_C=x_B-\dfrac 23 a_1$，所以 $x_C-x_D=\dfrac 13 a_1$．
综上所述得$$(x_A-x_B):(x_B-x_C):(x_C-x_D)=1:2:1.$$
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