设 $\{a_n\}$ 是等差数列，且满足 ① $a_n \in \mathbb N^*$，② 项数 $\geqslant 3$，③ 公差 $d>0$，记 $\{a_n\}$ 所有项的和为 $S$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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写出满足 $S=30$ 的所有 $\{a_n\}$；标注答案当 $n=3$ 时，$ \{a_n\}$ 有 $1,10,19$；$2,10,18$；$3,10,17$；$4,10,16$；$5,10,15$；$6,10,14$；$7,10,13$；$8,10,12$；$9,10,11$．
当 $n=4$ 时，$ \{a_n\}$ 有 $6,7,8,9$；$3,6,9,12$．
当 $n=5$ 时，$ \{a_n\}$ 有 $4,5,6,7,8$；$2,4,6,8,10$解析设所求 $\{a_n\}$ 共有 $n$ 项，因为 $n \geqslant 3$，$a_1 \geqslant 1$，$d \geqslant 1$．所以$$30=na_1+\dfrac {n(n-1)}{2}d \geqslant n+\dfrac {n(n-1)}{2},$$得$$3 \leqslant n \leqslant 7.$$同理$$30=na_1+\dfrac {n(n-1)}{2}d \geqslant 3a_1+3d,$$得$$1 \leqslant a_1,d \leqslant 9.$$以下列举：
当 $n=3$ 时，$ \{a_n\}$ 有 $1,10,19$；$2,10,18$；$3,10,17$；$4,10,16$；$5,10,15$；$6,10,14$；$7,10,13$；$8,10,12$；$9,10,11$．
当 $n=4$ 时，$ \{a_n\}$ 有 $6,7,8,9$；$3,6,9,12$．
当 $n=5$ 时，$ \{a_n\}$ 有 $4,5,6,7,8$；$2,4,6,8,10$．
当 $n=6$ 时，$6a_1+\dfrac {6\times 5}{2}d=30 \Rightarrow 2a_1+5d=10$ 无正整数解，同理 $n=7$ 时也没有正整数解． -
求证：对大于 $8$ 的合数 $m$，总存在 $\{a_n\}$ 使得 $S=m$．标注答案略解析当 $m=4k+2(k \geqslant 2)$ 时，存在 $ \{a_n\}$ 为 $k-1,k,k+1,k+2$，和为 $m$．
当 $m=4k+4(k \geqslant 2)$ 时，若 $k=2$，存在 $ \{a_n\}$ 为 $3,4,5$；而 $k\geqslant 3$，存在 $ \{a_n\}$ 为 $k-2,k,k+2,k+4$，和为 $m$．
当 $m$ 为大于 $8$ 的奇合数时，$m$ 可写为 $(2k+1)(2p+1)(1\leqslant k \leqslant p)$ 的形式，所以存在 $ \{a_n\}$ 为 $2p+1-k,2p+1-(k-1),\cdots , 2p+1,\cdots ,2p+1+(k-1),2p+1+k$，和为 $m$．
综上所述，对大于 $8$ 的合数 $m$，总存在 $ \{a_n\}$ 使得 $S=m$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
