在平行四边形 $ABCD$ 中，$M,N$ 分别为边 $AB,CD$ 上的点．若 $\angle{BAN}=\angle{CDM}$，$BN\parallel MD$，$CM\parallel NA$，求证：$AD\parallel BC$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江苏省复赛加试
【标注】
【答案】
略
【解析】
连结 $MN$，因为 $CM\parallel NA$，所以 $\angle{BAN}=\angle{BMC}$．因为 $BN\parallel MD$，所以 $\angle{BNC}=\angle{CDM}$，$\angle{ABN}=\angle{AMD}$．因为 $\angle{BAN}=\angle{CDM}$，所以 $\angle{BMC}=\angle{CDM}$，所以 $\angle{BMC}=\angle{BNC}$．所以 $A,M,N,D$ 四点共圆，$B,M,N,C$ 四点共圆．所以$$\angle{DAN}=\angle{DMN},\angle{CBN=\angle{CMN}}.$$因此\[\begin{split}\angle{DAB}+\angle{CBA}&=\angle{DAN}+\angle{BAN}+\angle{CBN}+\angle{ABN}\\&=\angle{DMN}+\angle{BMC}+\angle{CMN}+\angle{AMD}\\&=180^{\circ},\end{split}\]故 $AD\parallel BC$．
答案
解析
备注
