$n(n\geqslant 5)$ 个球队进行足球比赛，任意两个队比赛一场，每天安排一场比赛．一个队相邻两场比赛之间的间隔天数称为该队这两场比赛的“间隔数”，例如某队前两场比赛安排在第一天和第三天，则间隔数为 $1$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江苏省复赛加试
【标注】
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对 $n=5$，设计一个赛程，使各队所有的间隔数均不小于 $1$；标注答案略解析设队号依次为 $1,2,3,4,5$．
设计一个满足题设的赛程如下：
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证明：间隔数的最小值不超过 $\left[\dfrac{n-3}{2}\right]$．标注答案略解析由条件知，要安排 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 场比赛．
情形一 $n$ 为奇数．
若某队所有的间隔数至少为$$\left[\dfrac{n-3}{2}\right]+1=\dfrac{n-1}{2},$$则从该队的第一场到第 $n-1$ 场比赛需要的天数至少为$$\left(\dfrac{n-1}{2}+1\right)(n-2)+1=\dfrac{n(n-1)}{2}.$$故最多只能有一个队的间隔数均大于 $\left[\dfrac{n-3}{2}\right]$．
结论成立．情形二 $n$ 为偶数．
此时至少有两个队（设为 $A$ 和 $B$）在前 $\dfrac n2 -1$ 天不参赛．
若它们所有的间隔数至少为$$\left[\dfrac{n-3}{2}\right]+1=\dfrac n2-1,$$则赛程的总天数至少为$$\dfrac n2 -1+\left(\dfrac n2-1+1\right)(n-2)+1=\dfrac{n(n-1)}{2}.$$故 $A$ 和 $B$ 只能同时参赛，矛盾．
所以至少有一个间隔数不超过 $\left[\dfrac{n-3}{2}\right]$，从而间隔数的最小值不超过 $\left[\dfrac{n-3}{2}\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
