设 $F_1,F_2$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦点，椭圆的弦 $AB$ 过焦点 $F_1$，求 $\triangle ABF_2$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a\geqslant \sqrt 2b$ 时，所求面积的最大值为 $ab$；当 $a<\sqrt 2b$ 时，所求面积的最大值为 $\dfrac{2b^2\sqrt{a^2-b^2}}a$
【解析】
设 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则$$AB=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta},$$于是$$S_{\triangle ABF_2}=\dfrac 12\sin\theta\cdot 2c\cdot \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta}=\dfrac {2ab^2c}{\dfrac{b^2}{\sin\theta}+c^2\sin\theta},$$当 $\dfrac bc\leqslant 1$，即 $a\geqslant \sqrt 2b$ 时，面积的最大值为 $\dfrac {2ab^2c}{2bc}=ab$；
当 $a<\sqrt 2b$ 时，当 $\sin\theta=1$ 时，面积的最大值为 $\dfrac {2b^2c}a$．
当 $a<\sqrt 2b$ 时，当 $\sin\theta=1$ 时，面积的最大值为 $\dfrac {2b^2c}a$．
答案
解析
备注
