证明：方程 ${x^3} - 2{y^3} = 1$ 的任一组整数解 $\left( {x,y} \right)\left( {y \ne 0} \right)$ 都有 $\left| {\dfrac{x}{y} - {2^{\frac{1}{3}}}} \right| < \dfrac{4}{{{{\left| y \right|}^3}}}$．
【难度】
【出处】
2002年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\dfrac{x^3}{y^3} = t$，则 $\left( {t - 2} \right){y^3} = 1$，${y^3} = \dfrac{1}{{t - 2}}$．
若 $t-2=1$ 时，$y=1$，此时 $x\notin \mathbb{Z}$；
当 $t-2=-1$ 时，$y=-1$，此时 $x=-1$，有 $|1-\sqrt[3]2|<4$．
当 $ - 1 < t - 2 < 1$ 且 $t \ne 2$ 时，欲证不等式转化为$$\left| {\root 3 \of t - \root 3 \of 2 } \right| < \dfrac{4}{{\left| {{y^3}} \right|}} = 4{{\left| {t - 2} \right|}},$$即 $|t-2|<4\left|(\sqrt[3]t-\sqrt[3]2)(\sqrt[3]{t^2}+\sqrt[3]{2t}+\sqrt[3]4)\right|$，也即证$$\left|\sqrt[3]{t^2}+\sqrt[3]{2t}+\sqrt[3]4\right|>1,$$因为 $1<t<3$，上面的不等式恒成立，所以命题得证．
若 $t-2=1$ 时，$y=1$，此时 $x\notin \mathbb{Z}$；
当 $t-2=-1$ 时，$y=-1$，此时 $x=-1$，有 $|1-\sqrt[3]2|<4$．
当 $ - 1 < t - 2 < 1$ 且 $t \ne 2$ 时，欲证不等式转化为$$\left| {\root 3 \of t - \root 3 \of 2 } \right| < \dfrac{4}{{\left| {{y^3}} \right|}} = 4{{\left| {t - 2} \right|}},$$即 $|t-2|<4\left|(\sqrt[3]t-\sqrt[3]2)(\sqrt[3]{t^2}+\sqrt[3]{2t}+\sqrt[3]4)\right|$，也即证$$\left|\sqrt[3]{t^2}+\sqrt[3]{2t}+\sqrt[3]4\right|>1,$$因为 $1<t<3$，上面的不等式恒成立，所以命题得证．
答案
解析
备注
