设整数 $n\geqslant 2$．88若 $0<a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant \cdots \leqslant a_n$，$a_1a_2a_3\cdots a_n\leqslant x$，求证：$a_1a_2a_3\cdots a_{n-1}\leqslant x^{1-\frac 1n}$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛江苏省复赛加试
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $y=a_1a_2a_3\cdots a_n$，则 $y\leqslant x$．
由于$$0<a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant \cdots \leqslant a_n,$$故$$y=a_1a_2a_3\cdots a_n\leqslant a_n^n.$$因此$$a_n\geqslant y^{\frac 1n}.$$故$$a_1a_2a_3\cdots a_{n-1}=\dfrac y{a_n}\leqslant \dfrac{y}{y^{\frac 1n}}=y^{1-\frac 1n}\leqslant x^{1-\frac 1n}.$$
由于$$0<a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant \cdots \leqslant a_n,$$故$$y=a_1a_2a_3\cdots a_n\leqslant a_n^n.$$因此$$a_n\geqslant y^{\frac 1n}.$$故$$a_1a_2a_3\cdots a_{n-1}=\dfrac y{a_n}\leqslant \dfrac{y}{y^{\frac 1n}}=y^{1-\frac 1n}\leqslant x^{1-\frac 1n}.$$
答案
解析
备注
