已知点 $F$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}9=1$ 的左焦点，直线 $AB$ 经过 $F$ 且与椭圆交于 $A,B$ 两点．若 $O$ 为坐标原点，$\triangle AOB$ 的面积是 $\dfrac 92$，求直线 $AB$ 的斜率 $k$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\pm\dfrac{\sqrt{15}}{15}$
【解析】
利用仿射变换$$x'=x,y'=\dfrac 53y,$$将椭圆变成圆 $x'^2+y'^2=25$，则$$S_{\triangle A'OB'}=\dfrac 92\cdot \dfrac 53=\dfrac{15}2.$$
设 $O$ 到直线 $A'B'$ 的距离为 $OH$，则$$\dfrac 12\cdot 2\sqrt{25-OH^2}\cdot OH=\dfrac{15}2,$$即$$OH^2(25-OH^2)=\dfrac{225}{4},$$于是 $OH^2=\dfrac 52$，从而$$\sin\angle B'F'O=\sqrt{\dfrac{5}{32}},$$从而$$\tan\angle B'F'O=\pm \sqrt{\dfrac{5}{27}},$$因此所求直线的斜率 $k=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{15}$．
设 $O$ 到直线 $A'B'$ 的距离为 $OH$，则$$\dfrac 12\cdot 2\sqrt{25-OH^2}\cdot OH=\dfrac{15}2,$$即$$OH^2(25-OH^2)=\dfrac{225}{4},$$于是 $OH^2=\dfrac 52$，从而$$\sin\angle B'F'O=\sqrt{\dfrac{5}{32}},$$从而$$\tan\angle B'F'O=\pm \sqrt{\dfrac{5}{27}},$$因此所求直线的斜率 $k=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{15}$．
答案
解析
备注
