设函数 $f(x)=x^2-2ax+3-2a$ 的两个零点分别为 $x_1,x_2$，且在区间 $(x_1,x_2)$ 上恰好有两个正整数，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 76,\dfrac 32\right]$
【解析】
由判别式 $\Delta=4(a+3)(a-1)>0$ 得 $a>1\lor a<-3$．因为两根之间恰好有两个正整数，所以 $a>1$．
又因为$$f(1)=4(1-a)<0,$$所以 $1\in (x_1,x_2)$．从而知区间 $(x_1,x_2)$ 上的两个正整数为 $1,2$，于是有 $\begin{cases}f(2)<0,\\f(3)\geqslant 0,\end{cases}$ 解得 $a\in\left(\dfrac 76,\dfrac 32\right ]$．
又因为$$f(1)=4(1-a)<0,$$所以 $1\in (x_1,x_2)$．从而知区间 $(x_1,x_2)$ 上的两个正整数为 $1,2$，于是有 $\begin{cases}f(2)<0,\\f(3)\geqslant 0,\end{cases}$ 解得 $a\in\left(\dfrac 76,\dfrac 32\right ]$．
答案
解析
备注
