已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n+a_{n-1}=2+\dfrac{n(3n+1)}{a_n-a_{n-1}}(n\geqslant 2,a_n>0)$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=1+(n+1)\sqrt n(n\in\mathbb N^*)$
【解析】
由$$a_n^2-a_{n-1}^2=2(a_n-a_{n-1})+n(3n+1)$$得\[\begin{split}a_n^2-2a_n&=a_{n-1}^2-2a_{n-1}+3n^2+n,\\a_{n-1}^2-2a_{n-1}&=a_{n-2}^2-2a_{n-2}+3(n-1)^2+(n-1),\\&\cdots \\ a_2^2-2a_2&=a_1^2-2a_1+3\times 2^2+2.\end{split}\]以上 $n-1$ 个式子相加得$$a_n^2-2a_n=3^2-2\times 3+3\times \left[\dfrac 16n(n+1)(2n+1)-1\right]+\dfrac 12(n-1)(n+2),$$所以$$(a_n-1)^2=n^3+2n^2+n.$$因为 $a_n>0$，所以$$a_n=1+(n+1)\sqrt n(n\in\mathbb N^*).$$
答案
解析
备注
