已知 $x,y,z\in \mathbb R^*$，证明：$$\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{z+x}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}\geqslant \dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{z+x}+\dfrac{2z}{x+y}.$$
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$(y+z)^2=y^2+z^2+2yz\geqslant 4yz,$$所以$$\dfrac{y+z}{yz}\geqslant \dfrac 4{y+z},$$即$$\dfrac 1y+\dfrac 1z\geqslant \dfrac 4{y+z},$$又因为 $x>0$，所以$$\dfrac xy+\dfrac xz\geqslant \dfrac {4x}{y+z}.$$同理得\[\begin{split}\dfrac yz+\dfrac yx\geqslant \dfrac {4y}{z+x},\\ \dfrac zx+\dfrac zy\geqslant \dfrac{4z}{x+y}.\end{split}\]以上三式相加得$$\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{z+x}{2y}+\dfrac{x+y}{2z}\geqslant \dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{z+x}+\dfrac {2z}{x+y},$$当且仅当 $x=y=z$ 时，上式取等号．
答案
解析
备注
