已知 $a+b+c=1$，$a,b,c\geqslant 0$，求 $(c-a)(c-b)$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-\dfrac 18,1\right ]$
【解析】
由 $a+b+c=1$ 得到 $(c-a)(c-b)=2c^2-c+ab$．又由题意知$$0\leqslant ab=a(1-a-c)\leqslant \left(\dfrac {1-c}{2}\right )^2,$$当 $a=0$ 时第一个等号成立，当 $a=\dfrac {1-c}{2}$ 时第二个等号成立．于是有$$(c-a)(c-b)\geqslant 2c^2-c=2\left(c-\dfrac 14\right )^2-\dfrac 18\geqslant -\dfrac 18,$$当 $c=\dfrac 14$ 时取到等号；且$$(c-a)(c-b)\leqslant 2c^2-c+\left(\dfrac {1-c}{2}\right )^2=\dfrac 94\left(c-\dfrac 13\right )^2\leqslant 1,$$当 $c=1$ 时取到等号．
综上知 $(c-a)(c-b)\in\left[-\dfrac 18,1\right ]$．
综上知 $(c-a)(c-b)\in\left[-\dfrac 18,1\right ]$．
答案
解析
备注
