题目 已知 $A$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的左顶点，斜率为 $k$（$k>0$）的直线交 $E$ 于 $A,M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$MA\perp NA$． 问题1 当 $|AM|=|AN|$ 时，求 $\triangle AMN$ 的面积； 答案1 $\dfrac{144}{49}$ 解析1 根据题意画出示意图如图．<img src="/static/images/afa43b7e93703000c3f6fff14e8fbc67.png" class="img-responsive" />当 $|AM|=|AN|$ 时，$\triangle MAN$ 是等腰直角三角形．根据椭圆的对称性，可知 $k=1$，$A$ 点的坐标为 $(-2,0)$，因此直线 $AM$ 的方程为 $x=y-2$，与椭圆 $E$ 的方程联立，可得$$y\left(\dfrac{7}{12}y-1\right)=0,$$于是点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac{12}7$，进而可得 $\triangle AMN$ 的面积$$S=\left(\dfrac{12}7\right)^2=\dfrac{144}{49}.$$ 备注1 问题2 当 $2|AM|=|AN|$ 时，证明：$\sqrt 3<k<2$． 答案2 略 解析2 记 $m=\dfrac 1k$（$m>0$），则直线 $AM$ 的方程为 $x=my-2$，与椭圆 $E$ 的方程联立可得$$\left(\dfrac{m^2}4+\dfrac 13\right)y^2-my=0,$$从而点 $M$ 的纵坐标为 $\dfrac{12m}{3m^2+4}$，因此点 $N$ 的纵坐标为$$\dfrac{-\dfrac{12}{m}}{\dfrac{3}{m^2}+4}=\dfrac{-12m}{3+4m^2},$$因此由 $2|AM|=|AN|$ 可得$$2\cdot\sqrt{1+m^2}\cdot \dfrac{12m}{3m^2+4}=\sqrt{1+\dfrac{1}{m^2}}\cdot \dfrac{12m}{3+4m^2},$$整理得$$8m^3-3m^2+6m-4=0.$$设函数 $f(x)=8x^3-3x^2+6x-4$（$x>0$），则其导函数$$f'(x)=24x^2-6x+6>0,$$因此函数 $f(x)$ 单调递增．考虑到$$f\left(\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)=\dfrac{26-15\sqrt 3}{3\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt{676}-\sqrt{675}}{3\sqrt 3}>0,$$而$$f\left(\dfrac 12\right)=-\dfrac 34<0,$$因此函数 $f(x)$ 有唯一零点且该零点在区间 $\left(\dfrac 12,\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)$ 上，进而可得 $\dfrac 12<m<\dfrac{1}{\sqrt 3}$，也即 $\sqrt 3<k<2$． 备注2