已知过两抛物线 ${C_1}$：$x + 1 = {\left( {y - 1} \right)^2}$，${C_2}$：${\left( {y - 1} \right)^2} = - 4x + a + 1$ 的交点的各自的切线互相垂直，求 $a$．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
作平移，原问题转化为“已知过两抛物线 ${C_1}$：$x = {y^2}$，${C_2}$：${y^2} = - 4x + a + 5$ 的交点的各自的切线互相垂直，求 $a$．”
若交点的坐标为 $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，则 ${C_1}$ 在该点的切线为$$\dfrac{{x + {x_0}}}{2} = {y_0}y,$$${C_2}$ 在该点的切线为$${y_0}y = - 2\left( {x + {x_0}} \right) + a + 5.$$于是切线斜率之积为$$\dfrac{1}{{2{y_0}}} \cdot \left( { - \dfrac{2}{{{y_0}}}} \right) = - \dfrac{1}{{{y_0}^2}} = - \dfrac{1}{{{x_0}}}=-1,$$于是 ${x_0} = 1$，而抛物线的交点横坐标为 ${x_0} = \dfrac{a}{5} + 1$，因此 $a = 0$．
若交点的坐标为 $\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，则 ${C_1}$ 在该点的切线为$$\dfrac{{x + {x_0}}}{2} = {y_0}y,$$${C_2}$ 在该点的切线为$${y_0}y = - 2\left( {x + {x_0}} \right) + a + 5.$$于是切线斜率之积为$$\dfrac{1}{{2{y_0}}} \cdot \left( { - \dfrac{2}{{{y_0}}}} \right) = - \dfrac{1}{{{y_0}^2}} = - \dfrac{1}{{{x_0}}}=-1,$$于是 ${x_0} = 1$，而抛物线的交点横坐标为 ${x_0} = \dfrac{a}{5} + 1$，因此 $a = 0$．
答案
解析
备注
