已知过两抛物线 ${C_1}$：$x + 1 = {\left( {y - 1} \right)^2}$，${C_2}$：${\left( {y - 1} \right)^2} = - 4x + a + 1$ 的交点的各自的切线互相垂直，求 $a$．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
考虑抛物线的对称轴上半部分（$y>1$ 时）的交点情况，因为抛物线关于 $y=1$ 对称，所以下半部分情况相同．
对函数 $y = 1 + \sqrt {x + 1} $，$y = 1 + \sqrt { - 4x - a + 1} $，分别求导得$${y_1}^\prime = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }},{y_2}^\prime = \dfrac{{ - 4}}{{2\sqrt { - 4x - a + 1} }},$$可算出两抛物线交点的横坐标为 $x = - \dfrac{a}{5}$，由交点处的切线互相垂直，可得$$\sqrt { - \dfrac{a}{5} + 1} \cdot \sqrt { - 4 \cdot \left(- \dfrac{a}{5}\right) - a + 1} = 1,$$解出 $a = 0$（$a = 10$ 舍弃）．
对函数 $y = 1 + \sqrt {x + 1} $，$y = 1 + \sqrt { - 4x - a + 1} $，分别求导得$${y_1}^\prime = \dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }},{y_2}^\prime = \dfrac{{ - 4}}{{2\sqrt { - 4x - a + 1} }},$$可算出两抛物线交点的横坐标为 $x = - \dfrac{a}{5}$，由交点处的切线互相垂直，可得$$\sqrt { - \dfrac{a}{5} + 1} \cdot \sqrt { - 4 \cdot \left(- \dfrac{a}{5}\right) - a + 1} = 1,$$解出 $a = 0$（$a = 10$ 舍弃）．
答案
解析
备注
