双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>0) $ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与双曲线交于 $A,B$ 两点．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（理）
【标注】
-
若 $l$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}{2} $，$\triangle{F_1AB}$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；标注答案$y=\pm \sqrt{2}x $解析根据题意，通径 $|AB|=2b^2$ 与焦距 $|F_1F_2|=2c$ 的比为 $2:\sqrt 3$，即 $\dfrac{b^2}{c}=\dfrac{2}{\sqrt 3}$，从而解得 $b^2=2$，进而双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \sqrt{2}x $．
-
设 $b=\sqrt{3} $，若 $l$ 的斜率存在，且 $\left(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B} \right)\cdot\overrightarrow{AB}=0 $，求 $l$ 的斜率．标注答案$\pm \dfrac{\sqrt{15} }{5} $解析此时双曲线方程为 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$，$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$．如图，由题意，$A,B$ 两点分别位于双曲线的两支上，且 $\left|AF_1\right|=\left|BF_1\right|$，设线段 $AB$ 的中点为 $M$．设 $M(n,m)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，直线 $l$ 的斜率为 $k$．将 $A,B$ 两点满足的双曲线方程相减整理可得 $\dfrac mn\cdot k=3$．
因此有$$\begin{cases} \dfrac mn\cdot k=3,\\ \dfrac{m}{n+2}\cdot k=-1,\\ \dfrac{m}{n-2}=k,\end{cases}$$解得 $n=-\dfrac 12$，从而 $m=-\dfrac{3}{2k}=-\dfrac{5k}2$，进而 $k=\pm \dfrac{\sqrt{15}}5$，所以直线 $l$ 的斜率为 $\pm \dfrac{\sqrt{15} }{5} $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
