题目 已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)={\log_2}\left(\dfrac 1x+a\right)$． 问题1 当 $a=1$，解不等式 $f(x)>1$； 答案1 $(0,1)$ 解析1 当 $a=1$ 时，原不等式等价于 $\dfrac 1x+1>2$，其解集为 $(0,1)$． 备注1 问题2 若关于 $x$ 的方程 $f(x)+{\log_2}(x^2)=0$ 的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的值； 答案2 $0$ 或 $-\dfrac 14$ 解析2 根据题意，$$\begin{cases} ax^2+x-1=0,\\ \dfrac 1x+a>0,\\ x^2>0,\end{cases}$$有唯一解．<br/><case>情形一</case> $a=0$．<br/>此时 $x=1$，符合题意．<br/><case>情形二</case> $a\neq 0$．<br/>此时必然有方程 $ax^2+x-1=0$ 的判别式 $\Delta=1+4a=0$，解得 $a=-\dfrac 14$，此时 $x=2$，符合题意．<br/>综上，$a$ 的值为 $0$ 或 $-\dfrac 14$． 备注2 问题3 设 $a>0$，若对任意 $t\in\left[\dfrac 12,1\right]$，函数 $f(x)$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最大值与最小值的差不超过 $1$，求 $a$ 的取值范围． 答案3 $\left[\dfrac 23,+\infty\right)$ 解析3 当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，于是问题等价于$$\forall t\in\left[\dfrac 12,1\right],f(t)-f(t+1)\leqslant 1,$$也即$$\forall t\in\left[\dfrac 12,1\right],a\geqslant \dfrac{1-t}{t^2+t}.$$当 $t=1$ 时，上式显然成立．<br/>当 $t\in\left[\dfrac 12,1\right)$，也即 $1-t\in\left(0,\dfrac 12\right]$ 时，有$$\dfrac{1-t}{t^2+t}=\dfrac{1-t}{(1-t)^2-3(1-t)+2}=\dfrac{1}{(1-t)+\dfrac{2}{1-t}-3}\leqslant \dfrac 23 ,$$等号当 $t=\dfrac 12$ 时取得．因此 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 23,+\infty\right)$． 备注3