已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$A(a,0), B(0,b), O(0,0)$，$\triangle{OAB}$ 的面积为 $1$．
【难度】
【出处】
2016年高考北京卷（理）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$解析根据题意画出示意图如图．
根据椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$ 可得$$a^2=4b^2,$$又 $\triangle OAB$ 的面积 $\dfrac 12ab=1$，于是可得 $a=2$，$b=1$．
因此椭圆 $C$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1.$$ -
设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$．求证：$\left|AN\right|\cdot\left|BM\right|$ 为定值．标注答案略解析在仿射变换 $\begin{cases} x'=x,\\ y'=2y\end{cases}$ 下椭圆 $C$ 变为圆 $C':x'^2+y'^2=4$．设 $A,B,P,M,N$ 的对应点分别为 $A',B',P',M',N'$，连接 $A'B'$，如图．
由 $\angle B'A'N'=\angle A'B'M'=45^\circ$，且$$\angle A'B'N'=45^\circ+\angle OB'N'=\angle P'+\angle OB'N'=\angle A'M'B',$$可得 $\triangle A'B'N'$ 与 $\triangle B'M'A'$ 相似，于是$$\dfrac{|A'N'|}{|B'A'|}=\dfrac{|A'B'|}{|B'M'|},$$即$$|A'N'|\cdot |B'M'|=|A'B'|^2=8,$$因此$$|AN|\cdot 2|BM|=8,$$即$$|AN|\cdot |BM|=4$$为定值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
