在 $\triangle ABC$ 中，三边长 $a,b,c$ 满足 $a + c = 3b$，则 $\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{C}{2}$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年清华大学等五校合作自主选拔通用基础测试数学试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
由正弦定理，$a + c = 3b$ 可变形为$$\sin A + \sin C = 3\sin B,$$结合和差化积及二倍角公式，得$$2\sin \dfrac{{A + C}}{2}\cos \dfrac{{A - C}}{2} = 6\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{B}{2}.$$再根据三角形内角和为 $\pi$ 及诱导公式，得$$\cos \dfrac{{A - C}}{2} = 3\sin \dfrac{B}{2},$$即$$ \cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{C}{2} + \sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{C}{2} = 3\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{C}{2} - 3\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{C}{2},$$合并整理，得$$4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{C}{2} = 2\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{C}{2},$$因此\[\tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{C}{2} = \dfrac{1}{2}.\]
题目
答案
解析
备注
