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求 $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}$ 的单调区间及极值．
【难度】
【出处】
2007年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
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    利用导数研究函数的单调性
  • 知识点
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    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的极值
【答案】
$f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty,0)$ 和 $(0,1)$，单调递增区间为 $[1,+\infty)$；
当 $x=1$ 时，$f(x)$ 有极小值为 $\mathrm{e}$，无极大值
【解析】
对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=\left(\dfrac1x\right)'\mathrm{e}^x+\dfrac1x\left(\mathrm{e}^x\right)'=\dfrac{\mathrm{e}^x(x-1)}{x^2}.$$情形一当 $x<0$ 或 $0<x<1$ 时，$f'(x)<0$；
情形二当 $x>1$ 时，$f'(x)>0$．
因此，函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(-\infty,0)$ 和 $(0,1)$；单调递增区间为 $[1,+\infty)$；
当 $x=1$ 时，$f(x)$ 有极小值为 $\mathrm{e}$，无极大值．
答案 解析 备注
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