在椭圆 $x^2+4y^2=4x$ 上，求使 $z=x^2-y^2$ 取得最大值和最小值的点 $P$ 的坐标．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔族自治区预赛
【标注】
【答案】
$P(4,0)$，$P\left(\dfrac 25,\pm \dfrac 35\right)$
【解析】
设 $P(x,y)$ 为椭圆 $x^2+4y^2=4x$ 上一点，则$$y^2=\dfrac 14(4x-x^2),$$代入 $z=x^2-y^2$，得$$z=x^2-\dfrac 14(4x-x^2)=\dfrac 54\left(x-\dfrac 25\right)^2-\dfrac 15.$$因为 $P(x,y)$ 是 $x^2+4y^2=4x$ 上的点，所以$$4x-x^2=4y^2\geqslant 0, 0\leqslant x\leqslant 4,$$故 $x=\dfrac 25$，$y=\pm \dfrac 35$ 时，$z$ 有最小值 $-\dfrac 15$，此时 $P\left(\dfrac 25,\pm \dfrac 35\right)$；
当 $x=4$，$y=0$ 时，$z$ 有最大值 $16$，此时 $P(4,0)$．
当 $x=4$，$y=0$ 时，$z$ 有最大值 $16$，此时 $P(4,0)$．
答案
解析
备注
