已知 $n$ 个任意的正方形纸片（$n>1,n\in\mathbb N$），证明：可以用剪刀把它们剪开，然后组拼成一个新的正方形．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔族自治区预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
用数学归纳法证明．
归纳基础 当 $n=2$ 时，设两个正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 和 $A_2B_2C_2D_2$ 的边长为 $a$ 和 $b$，其中 $a\geqslant b$．
在正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 的各边上，顺序截取 $A_1M,B_1N,C_1P,D_1Q$，使$$A_1M=B_1N=C_1P=D_1Q=\dfrac{a+b}{2}.$$连 $MP,NQ$ 交于 $O$，易知 $MP\perp NQ$．
沿线段 $MP,NQ$ 把正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 剪开，得到四个全等部分，把这四块与正方形 $A_2B_2C_2D_2$ 相拼成一个新的正方形．
因此，$n=2$ 时命题成立．
递推证明 假设 $n=k$ 时，命题成立．
当 $n=k+1$ 时，前 $k$ 个正方形可拼成一个新正方形，把这个正方形按上法剪开，截取的线段上是这个新的正方形的边长个第 $k+1$ 个正方形边长和的一半，然后和第 $k+1$ 个正方形如上法拼组成第 $k+1$ 个新的正方形，至此说明当 $n=k+1$ 时命题成立．
由数学归纳原理，对 $n>1$，$n\in \mathbb N$ 命题成立．
在正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 的各边上，顺序截取 $A_1M,B_1N,C_1P,D_1Q$，使$$A_1M=B_1N=C_1P=D_1Q=\dfrac{a+b}{2}.$$连 $MP,NQ$ 交于 $O$，易知 $MP\perp NQ$．
沿线段 $MP,NQ$ 把正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 剪开，得到四个全等部分，把这四块与正方形 $A_2B_2C_2D_2$ 相拼成一个新的正方形．
因此，$n=2$ 时命题成立．
当 $n=k+1$ 时，前 $k$ 个正方形可拼成一个新正方形，把这个正方形按上法剪开，截取的线段上是这个新的正方形的边长个第 $k+1$ 个正方形边长和的一半，然后和第 $k+1$ 个正方形如上法拼组成第 $k+1$ 个新的正方形，至此说明当 $n=k+1$ 时命题成立．
由数学归纳原理，对 $n>1$，$n\in \mathbb N$ 命题成立．
答案
解析
备注
