已知 $x,y\in (-2,2)$，且 $xy=-1$，则 $u=\dfrac{4}{4-x^2}+\dfrac{9}{9-y^2}$ 的最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}
u&=\dfrac{4}{4-x^2}+\dfrac{9x^2}{9x^2-(xy)^2}\\
&=\dfrac{4}{4-x^2}+\dfrac{1}{9x^2-1}+1\\
&=\dfrac{36}{36-9x^2}+\dfrac{1}{9x^2-1}+1\\
&\geqslant \dfrac{(6+1)^2}{35}+1\\
&=\frac{12}{5},\end{split}\]等号当\[\dfrac{6}{36-9x^2}=\dfrac{1}{9x^2-1}\]即 $x=\pm \sqrt{\dfrac 23}$ 时取得，因此所求的最小值为 $\dfrac{12}5$．
u&=\dfrac{4}{4-x^2}+\dfrac{9x^2}{9x^2-(xy)^2}\\
&=\dfrac{4}{4-x^2}+\dfrac{1}{9x^2-1}+1\\
&=\dfrac{36}{36-9x^2}+\dfrac{1}{9x^2-1}+1\\
&\geqslant \dfrac{(6+1)^2}{35}+1\\
&=\frac{12}{5},\end{split}\]等号当\[\dfrac{6}{36-9x^2}=\dfrac{1}{9x^2-1}\]即 $x=\pm \sqrt{\dfrac 23}$ 时取得，因此所求的最小值为 $\dfrac{12}5$．
题目
答案
解析
备注
