已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，$a_i\in \{0,1\}$（$i=1,2,\cdots,n$）且 $a_n=1$，设 $M$ 是所有形如\[0.\overline{a_1a_2\cdots a_n}_{(10)}\]的小数组成的集合，$S_n$ 是集合 $M$ 中的所有元素之和，$T_n$ 是集合 $M$ 中元素的个数，则 $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{T_n}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[T_n=2^{n-1},\]且\[S_n=(0.1+0.01+\cdots+0.\underbrace{00\cdots 0}_{n-2}1)\cdot 2^{n-2}+0.\underbrace{00\cdots 0}_{n-1}1,\]于是\[\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{S_n}{T_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac 19\cdot 2^{n-2}}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{18}.\]
题目
答案
解析
备注
