甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，比赛进行到有一人比对方多 $2$ 分或者打满 $6$ 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 $\dfrac 23$，乙在每局中获胜的概率为 $\dfrac 13$，则比赛停止时已打局数 $\xi$ 的期望 $E\xi$ 是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
所有可能的局数为 $2$（比分为 $2:0$ 或 $0:2$），$4$（比分为 $3:1$ 或 $1:3$），$6$（比分为 $2:4$ 或 $3:3$ 或 $4:3$），其对应的概率分别为\[\begin{split} p_1&=\left(\dfrac 23\right)^2+\left(\dfrac 13\right)^2=\dfrac{5}{9},\\
p_2&=(1-p_1)\cdot p_1=\dfrac{20}{81},\\
p_3&=1-p_1-p_2=\dfrac{16}{81},\\
\end{split}\]于是\[E\xi=\dfrac 59\cdot 2+\dfrac{20}{81}\cdot 4+\dfrac{16}{81}\cdot 6=\dfrac{266}{81}.\]
p_2&=(1-p_1)\cdot p_1=\dfrac{20}{81},\\
p_3&=1-p_1-p_2=\dfrac{16}{81},\\
\end{split}\]于是\[E\xi=\dfrac 59\cdot 2+\dfrac{20}{81}\cdot 4+\dfrac{16}{81}\cdot 6=\dfrac{266}{81}.\]
题目
答案
解析
备注
