已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴长为 $4$，焦距为 $2\sqrt 2$．
【难度】
【出处】
2016年高考山东卷（文）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$解析根据题意，有$$a^2=4,c^2=2,$$因此$$b^2=2,$$于是椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$．
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过动点 $M(0,m)$（$m>0$）的直线交 $x$ 轴于点 $N$，交 $C$ 于点 $A,P$（$P$ 在第一象限），且 $M$ 是线段 $PN$ 的中点．过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于另一点 $Q$，延长 $QM$ 交 $C$ 于点 $B$．
（i）设直线 $PM,QM$ 的斜率分别为 $k,k'$，证明：$\dfrac{k'}k$ 为定值；
（ii）求直线 $AB$ 的斜率的最小值．标注答案（i）定值为 $-3$；（ii）$\dfrac{\sqrt 6}2$解析如图，
（i）根据题意，设 $P(p,2m)$（$0<2m<\sqrt 2$），则 $Q(p,-2m)$，于是直线 $QM,PM$ 的斜率之比为$$\dfrac{k'}{k}=\dfrac{-2m-m}{2m-m}=-3.$$（ii）由于直线 $PA$ 的斜率$$k=\dfrac{m}{p}=\dfrac{m}{\sqrt{4-8m^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{4}{m^2}-8}},$$其中 $0<m^2<\dfrac 12$．
因此 $k$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．
将直线 $y=Kx+m$ 与椭圆的方程联立，整理得$$(2K^2+1)x^2+4Kmx+2m^2-4=0.$$设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，直线 $PA:y=kx+m$，直线 $QB:y=-3kx+m$，分别令 $K=k$ 和 $K=-3k$ 即可得$$x_1p=\dfrac{2m^2-4}{2k^2+1},x_2p=\dfrac{2m^2-4}{18k^2+1},$$进而直线 $AB$ 的斜率\[\begin{split} k_{AB}&=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{(kx_1+m)-(-3kx_2+m)}{x_1-x_2}\\&=\dfrac{k\cdot x_1p+3k\cdot x_2p}{x_1p-x_2p}=\dfrac{k\cdot\dfrac{2m^2-4}{2k^2+1}+3k\cdot \dfrac{2m^2-4}{18k^2+1}}{\dfrac{2m^2-4}{2k^2+1}-\dfrac{2m^2-4}{18k^2+1}}\\&=\dfrac 14\left(6k+\dfrac 1k\right)\geqslant \dfrac{\sqrt 6}2,\end{split}\]等号当且仅当 $k=\dfrac{\sqrt 6}6$ 时取得．
因此直线 $AB$ 的斜率的最小值为 $\dfrac{\sqrt 6}2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
