题目 已知 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 为公差为 $6$ 的等差数列，${b_{n + 1}} = {a_{n + 1}} - {a_n}$（$n \in {\mathbb{N}}$）． 问题1 用 ${a_1}$、${b_1}$、$n$ 表示数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n={a_1} + \left( {n - 1} \right){b_1} + 3n\left( {n - 1} \right)$ 解析1 因为$${b_{n + 1}} = {b_1} + 6n,$$所以\[{a_n} = {a_1} + \sum_{k=1}^{n-1} {{b_{k + 1}}} = {a_1} + \left( {n - 1} \right){b_1} + 3n\left( {n - 1} \right).\] 备注1 问题2 若 ${a_1} = - {b_1} = a$，$a \in \left[ {27,33} \right]$，求 ${a_n}$ 的最小值及取最小值时的 $n$ 的值． 答案2 当 $27 \leqslant a < 30$ 时，${a_n}$ 的最小值为 $60 - 3a$，此时 $n=5$；<br/>当 $a = 30$ 时，${a_n}$ 的最小值为 $60 - 3a$，此时 $n=5$ 或 $n=6$；<br/>当 $30 < a \leqslant 33$ 时，${a_n}$ 的最小值为 $90 - 4a$，此时 $n=6$ 解析2 因为\[{a_n} = a - a\left( {n - 1} \right) + 3{n^2} - 3n = 3{n^2} - \left( {a + 3} \right)n + 2a,\]对称轴位置为$$n = \dfrac{{a + 3}}{6}.$$所以当 $27 \leqslant a < 30$ 时，${a_5}=60 - 3a$ 最小；<br/>当 $a = 30$ 时，${a_5} = {a_6} = 60 - 3a$ 最小；<br/>当 $30 < a \leqslant 33$ 时，${a_6}=90 - 4a$ 最小． 备注2