数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=a_2=1$，$a_3=m$，$a_{n+1}=\dfrac {k+a_na_{n-1}}{a_{n-2}}(n \geqslant 3)$，其中 $k$，$m$ 均为正整数且 $(k,m)=1$．问 $k $ 为何值时，对任意的 $n \in \mathbb N$，$a_n$ 均为整数？
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$k=tm-1(t\in \mathbb Z)$
【解析】
由题设计算可得$$a_6=\dfrac {(k+m)(m^2+km+k)+k}{m}.$$由于$$(k+m)(m^2+km+k)+k=k(k+1)+m(m^2+2km+k^2+k),$$且 $(k,m)=1$，所以若 $a_6$ 是整数，则必有$$m|k+1,$$故可设 $k=tm-1(t\in \mathbb Z)$．
另一方面，因为 $k=tm-1(t\in \mathbb Z)$，所以$$a_{n+1}a_{n-2}=k+a_na_{n-1},a_{n+2}a_{n-1}=k+a_{n+1}a_{n},$$由此得$$a_{n+1}(a_{n-2} +a_n)=a_{n-1}(a_n+a_{n+2}),$$即$$\dfrac {a_n+a_{n+2}}{a_{n+1}}=\dfrac {a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}.$$设 $n=s$ 时，$a_1,a_2,\cdots ,a_s$ 为整数．
若 $s+1$ 为奇数，$$\dfrac {a_{s+1}+a_{s-1}}{a_{s}}=\dfrac {a_{s-1}+a_{s-3}}{a_{s-2}}=\cdots =\dfrac {a_1+a_3}{a_2}=m+1,$$所以 $a_{s+1}=(m+1)a_s-a_{s-1}$ 为整数；
若 $s+1$ 为偶数，$$\dfrac {a_{s+1}+a_{s-1}}{a_{s}}=\dfrac {a_{s-1}+a_{s-3}}{a_{s-2}}=\cdots =\dfrac {a_4+a_2}{a_3}=t+1,$$所以 $a_{s+1}=(t+1)a_s-a_{s-1}$ 为整数．
综上所述，当 $k=tm-1(t\in \mathbb Z)$ 时 $a_n$ 为整数．
另一方面，因为 $k=tm-1(t\in \mathbb Z)$，所以$$a_{n+1}a_{n-2}=k+a_na_{n-1},a_{n+2}a_{n-1}=k+a_{n+1}a_{n},$$由此得$$a_{n+1}(a_{n-2} +a_n)=a_{n-1}(a_n+a_{n+2}),$$即$$\dfrac {a_n+a_{n+2}}{a_{n+1}}=\dfrac {a_n+a_{n-2}}{a_{n-1}}.$$设 $n=s$ 时，$a_1,a_2,\cdots ,a_s$ 为整数．
若 $s+1$ 为奇数，$$\dfrac {a_{s+1}+a_{s-1}}{a_{s}}=\dfrac {a_{s-1}+a_{s-3}}{a_{s-2}}=\cdots =\dfrac {a_1+a_3}{a_2}=m+1,$$所以 $a_{s+1}=(m+1)a_s-a_{s-1}$ 为整数；
若 $s+1$ 为偶数，$$\dfrac {a_{s+1}+a_{s-1}}{a_{s}}=\dfrac {a_{s-1}+a_{s-3}}{a_{s-2}}=\cdots =\dfrac {a_4+a_2}{a_3}=t+1,$$所以 $a_{s+1}=(t+1)a_s-a_{s-1}$ 为整数．
综上所述，当 $k=tm-1(t\in \mathbb Z)$ 时 $a_n$ 为整数．
答案
解析
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