题目 已知函数 $f(x)=a^x+b^x$（$a>0,b>0,a\neq 1,b\neq 1$）． 问题1 设 $a=2$，$b=\dfrac 12$．<br/>（i）求方程 $f(x)=2$ 的根；<br/>（ii）若对于任意 $x\in\mathbb R$，不等式 $f(2x)\geqslant mf(x)-6$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值； 答案1 （i）$x=0$．（ii）实数 $m$ 的最大值是 $4$ 解析1 （i）方程 $f(x)=2$ 即 $2^x+\dfrac{1}{2^x}=2$，也即 $(2^x-1)^2=0$，因此它的根是 $x=0$．<br/>（ii）原命题即$$\forall x\in\mathbb R,2^{2x}+\dfrac{1}{2^{2x}}\geqslant m\left(2^x+\dfrac{1}{2^x}\right)-6,$$也即$$m\leqslant \dfrac{2^{2x}+\dfrac{1}{2^{2x}}+6}{2^x+\dfrac{1}{2^x}}=\dfrac{\left(2^x+\dfrac{1}{2^x}\right)^2+4}{2^x+\dfrac{1}{2^x}}=\left(2^x+\dfrac{1}{2^x}\right)+\dfrac{4}{2^x+\dfrac{1}{2^x}}$$对一切实数 $x$ 均成立．由第（i）小题，当 $x=0$ 时，$2^x+\dfrac{1}{2^x}=2$，此时右侧函数取得最小值为 $4$．因此实数 $m$ 的最大值是 $4$． 备注1 问题2 若 $0<a<1$，$b>1$，函数 $g(x)=f(x)-2$ 有且只有 $1$ 个零点，求 $ab$ 的值． 答案2 $1$ 解析2 函数 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\ln a\cdot a^x+\ln b\cdot b^x=a^x\cdot\left[\left(\dfrac ba\right)^x\ln b-\ln\dfrac 1a\right],$$令 $h(x)=\left(\dfrac ba\right)^x\ln b-\ln\dfrac 1a$，则 $h(x)$ 单调递增，且有唯一零点 $x_0$，其中 $x_0$ 满足$$\ln a\cdot a^{x_0}+\ln b\cdot b^{x_0}=0,$$进而函数 $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值，亦为最小值 $g(x_0)$．由于 $g(0)=f(0)-2=0$，进行如下讨论．<br/><case>情形一</case> $x_0\neq 0$．<br/>此时必然有 $g(x_0)<0$，取 $x_1=\min\{{\log_a}2,x_0-1\}$，$x_2=\max\{{\log_b}2,x_0+1\}$，则显然有 $g(x_1)>0$，$g(x_2)>0$ 且 $x_1<x_0<x_2$，此时函数 $g(x)$ 在区间 $(x_1,x_0)$ 和区间 $(x_0,x_2)$ 内都存在零点，不符合题意．<br/><case>情形二</case> $x_0=0$．<br/>此时函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，而 $g(0)=0$，因此函数 $g(x)$ 有唯一零点，符合题意．<br/>综上所述，$x_0=0$，进而可得 $\ln a+\ln b=0$，从而 $ab=1$． 备注2