2014年全国高中数学联赛福建省预赛

略

设 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，则 $q>0$．
由$$a_1+a_2=6,a_3+a_4=24,$$知$$\begin{cases}a_1+a_1q=6,\\ a_1q^2+a_1q^3=24,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}a_1 =2,\\ q =2 .\end{cases}$$所以$$a_n=2\times 2^{n-1}=2^n,$$故$$b_n=\dfrac {a_n}{(a_n-1)^2}=\dfrac {2^n}{(2^n-1)^2}.$$因为当 $n \geqslant 2$ 时，\[\begin{split}b_n &=\dfrac {2^n}{(2^n-1)^2}\\&=\dfrac {2^n}{(2^n-1)(2^n-1)}\\&<\dfrac {2^n}{(2^n-1)(2^n-2)}\\&=\dfrac {2^{n-1}}{(2^{n-1}-1)(2^n-1)}\\&=\dfrac {1}{ 2^{n-1}-1 }-\dfrac {1}{2^n-1},\end{split}\]所以此时\[\begin{split}T_n &< b_1+\left(\dfrac {1}{2 -1}-\dfrac {1}{2^2-1}\right)+\left(\dfrac {1}{2^2-1}-\dfrac {1}{2^3-1}\right)+\cdots+\left(\dfrac {1}{2^{n-1}-1}-\dfrac {1}{2^n-1}\right)\\ &=2+1-\dfrac {1}{2^n-1}<3.\end{split}\]又 $n=1$ 时，$$T_1=b_1=2<3,$$因此对一切正整数 $n$ 均有 $T_n<3$．